Quan hệ lao động giữa anh X và công ty là quan hệ hợp đồng trong lĩnh vực lao động. Về nguyên tắc, mọi vấn đề liên quan đến giao kết hay thực hiện hợp đồng (như ký kết hợp đồng, thay đổi bổ sung, chấm dứt ...vv) đều phải cho chính NLĐ (chủ thể) thực hiện. Vì đây là những vấn đề gắn liền với NLĐ, không thể chuyển giao hay uỷ quyền cho người khác được. (Lưu ý: có những việc không liên quan đến công việc lao động, anh X có thể uỷ quyền cho người khác, như lãnh lương chẳng hạn. Nhưng phải có giấy uỷ quyền hợp lệ).
Việc vợ anh X gửi đơn xin nghỉ việc cho anh X, có nhiều điểm chưa rõ ràng và không/chưa có cơ sở pháp luật để có thể xem xét. Chẳng hạn: không có giấy tờ gì chứng minh chị H là vợ anh X, liệu anh X có đồng ý nghỉ việc, đồng ý cho vợ gửi Đơn xin thôi việc tới công ty không? ...vv. Chính vì vậy, công ty không thể giải quyết cho anh X nghỉ việc trong điều kiện như vậy được.
Qua những thông tin bạn gửi, tôi cho rằng hai bên có thể sẽ xem xét tới tình huống thoả thuận chấm dứt HĐLĐ, nếu thực sự anh X có nguyện vọng như vậy. Tuy nhiên điều này cũng chỉ có thể giải quyết khi anh X khoẻ lại và trực tiếp tới công ty (hoặc công ty có thể tới gặp anh X). 
Trong bối cảnh hiện nay, theo tôi công ty cần phải sớm cử người tới thăm, và trực tiếp tìm hiểu, xác minh tình trạng sức khoẻ của anh X để có giải pháp phù hợp và đúng luật. Nếu anh X đang ở nước ngoài thì có thể chờ, nhưng cần yêu cầu người nhà thông báo tình hình. Chứ không thể ngồi mà "đoán mò" trong khi công việc đang cần người được.
Nếu tai nạn không quá nghiêm trọng, anh X có thể sớm đi làm, thì công ty có thể giải quyết theo phương án thoả thuận tạm hoãn thực hiện hợp đồng. Trong thời gian này không trả lương cho anh X.
Còn nếu tình trạng của anh X là nặng, dẫn đến tình huống phải điều trị liên tục trên 6 tháng (đối với HĐLĐ xác định thời hạn, hoặc trên 12 tháng (đối với HĐLĐ không xác định thời hạn) - thì sau thời hạn này, công ty có thể áp dụng quyền đơn phương chấm dứt HĐLĐ - theo quy định tại Điểm b Khoản 1 Điều 38 BLLĐ (2012). Các vấn đề về quyền lợi, chế độ thực hiện theo quy định chung.
Theo tôi hiểu, thì công ty đang cần người làm và đồng ý với tình huống chấm dứt HĐLĐ với anh X. Do vậy, lá đơn do vợ anh X gửi đến tuy không thể giải quyết, nhưng cũng là tài liệu tham khảo, cung cấp thông tin, để công ty có thể chủ động tìm người thay thế anh X trong bối cảnh hiện tại.
...........
Quy định tại BLLĐ (2012)
Điều 38. Quyền đơn phương chấm dứt hợp đồng lao động của người sử dụng lao động
1. Người sử dụng lao động có quyền đơn phương chấm dứt hợp đồng lao động trong những trường hợp sau đây:
a) Người lao động thường xuyên không hoàn thành công việc theo hợp đồng lao động;
b) Người lao động bị ốm đau, tai nạn đã điều trị 12 tháng liên tục đối với người làm theo hợp đồng lao động không xác định thời hạn, đã điều trị 06 tháng liên tục, đối với người lao động làm theo hợp đồng lao động xác định thời hạn và quá nửa thời hạn hợp đồng lao động đối với người làm theo hợp đồng lao động theo mùa vụ hoặc theo một công việc nhất định có thời hạn dưới 12 tháng mà khả năng lao động chưa hồi phục.
Khi sức khỏe của người lao động bình phục, thì người lao động được xem xét để tiếp tục giao kết hợp đồng lao động;
c) Do thiên tai, hỏa hoạn hoặc những lý do bất khả kháng khác theo quy định của pháp luật, mà người sử dụng lao động đã tìm mọi biện pháp khắc phục nhưng vẫn buộc phải thu hẹp sản xuất, giảm chỗ làm việc;
d) Người lao động không có mặt tại nơi làm việc sau thời hạn quy định tại Điều 33 của Bộ luật này.
2. Khi đơn phương chấm dứt hợp đồng lao động người sử dụng lao động phải báo cho người lao động biết trước:
a) Ít nhất 45 ngày đối với hợp đồng lao động không xác định thời hạn;
b) Ít nhất 30 ngày đối với hợp đồng lao động xác định thời hạn;